Применение паскаля в геометрии

детстве, когда я начал изучать Паскаль, я запомнил цитату из детской книжки
примерно такого содержания: «Паскаль — универсальный язык программирования
подходящий для решения самых различных задач». Когда человек впервые
сталкивается с программированием на Паскале, одна из первых его мыслей после
прочтения таких строк будет «А в чем же заключается его универсальность?». На
самом деле я когда более углубленно изучил паскаль решил, что это определение
абсолютно правдивое. И действительно Паскаль можно применить для решения
абсолютно любых задач. В этой статье я расскажу о там как можно использовать
Паскаль для решения геометрических задач. Для примера возьмем задание которое
звучит так: «По координатам точки и вершин треугольника определить, принадлежит
ли точка этому треугольнику».

Часть 1. Теория.

Начнем с того, каким образом это вообще можно
сделать. Есть как минимум два варианта решения этой задачи. Их очень трудно
объяснить обычным текстом, но я попробую это сделать, а для наглядности буду
обращаться к рисункам. Итак. Вариант первый. Сразу предлагаю посмотреть на
рисунок «Теория. Вариант 1». Дан треугольник ABC и искомая точка X. Чтобы
определить принадлежит ли точка треугольнику нужно проделать следующие действия:

1. Найти площадь треугольника ABC.
2. Найти площади треугольников ABX, BCX и ACX.
3. Сравнить. Если площадь треугольника ABC равна сумме площадей ABX, BCX и
   ACX, значит точка принадлежит треугольнику, иначе — нет.

Второй вариант несколько сложнее в
понимании. Смотрим рисунок «Теория. Вариант 2». Ситуация такая же: ABC —
треугольник, X — точка.

1. Находим площадь треугольника ABC.
2. Находим расстояние от точки X до каждой из вершин треугольника.
3. Выбираем наименьшее из них. (В данном случае BX)
4. Находим площадь треугольника с новой точкой вместо ближайшей. (Здесь XC)
5. Сравниваем. Если площадь первого треугольника больше площади второго,
   значит точка не принадлежит треугольнику, иначе — принадлежит.

По сложности реализации оба варианта
примерно одинаковы, но дело в том, что во втором варианте есть небольшой процент
неточности — когда точка лежит очень близко к грани треугольника, но не
принадлежит ему. Поэтому подробно рассмотрим только первый вариант.

Часть 2. Практика.

С выбором пути
решения мы определились. Но начать, я считаю, надо с того что в обоих случаях мы
находим ответ через площадь. А как найти площадь по координатам точек? Ответ
есть. Существует такая формула Герона.

Квадратный корень из p(p-x)(p-y)(p-z)

Где p — полупериметр, x,y и z — длины
сторон. Длину сторон же находятся по формуле длины вектора. Итак. Начнем. Эта
стать предполагает, что читатель имеет общее представление о программировании на
языке Паскаль. Первые строчки кода выглядят так:

program Treugolnik;
var q,w,p,ax,bx,cx,dx,ay,by,cy,dy:real;
per1,per2,per3,per4:real;

Переменные q,w промежуточные. В них будут
храниться временные значения координат. Переменные ax,bx…cy,dy — координаты
вершин треугольника и искомой точки. Переменные per1…per4 и p будут служить
для хранения площадей треугольников. Здесь нет ничего сложного. Продолжим
программу. Сначала напишем процедуру получения координат с клавиатуры. Она
выглядит так:

procedure Zapoln;
begin
write(‘Koordinaty A ‘);
readln(ax, ay);
write(‘Koordinaty B ‘);
readln(bx, by);
write(‘Koordinaty C ‘);
readln(cx, cy);
write(‘Koordinaty D ‘);
readln(dx, dy);
end;

Здесь надеюсь тоже все понятно.
Координаты точки будут вводиться через пробел, по нажатии на Enter переход к
следующей точке. Итак, мы получили координаты точек треугольников. Теперь
получим их площади.

procedure
Ploshad(n:integer);
var d1,d2,d3,per:real;
begin
d1:=sqrt((ax-bx)*(ax-bx)+(ay-by)*(ay-by));
d2:=sqrt((cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by));
d3:=sqrt((ax-cx)*(ax-cx)+(ay-cy)*(ay-cy));
per:=(d1+d2+d3)/2;
per:=sqrt(per*(per-d1)*(per-d2)*(per-d3));
if
n=1 then per1:=per else
if n=2 then per2:=per else
if n=3 then per3:=per else
if n=4 then
per4:=per;
end;

sqrt((ax-bx)*(ax-bx)+(ay-by)*(ay-by)) —
формула нахождения длины вектора AB. sqrt(per*(per-d1)*(per-d2)*(per-d3)) — та
самая формула Герона. Теперь при вызове этой процедуры мы будем указывать номер
нужного треугольника. 1 — главный треугольник, 2-4 — треугольники образованные
точкой. Теперь нам нужно найти площади треугольников образованных точкой. Для
этого Будем временно подставлять вместо координат одной из вершин координаты
точки D.
procedure Zamena(x:integer);
begin
if x=1 then
begin
q:=cx;
w:=cy;
cx:=dx;
cy:=dy;
end else
if x=2 then
begin
q:=ax;
w:=ay;
ax:=dx;
ay:=dy;
end else
if x=3 then
begin
q:=bx;
w:=by;
bx:=dx;
by:=dy;
end;
end;

Этой процедуре мы передаем номер
операции. Я условно принял, что нахождение площади ABD — 1, BCD — 2 и ACD — 3. В
переменные q и w мы вводим временные координаты точки, чтобы потом можно было их
восстановить. Далее идет собственно сама процедура сравнения.

procedure Sravn;
begin
if per1 = p then
Writeln(‘Yes’) else
Writeln(‘No’); end;

Здесь все до безобразия просто. Я лишь
поясню, что per1 — это площадь главного треугольника, а p — сумма площадей
промежуточных треугольников. Но если мы будем сравнивать по этим данным, то
ответ будет всегда отрицательным, так как после всех операций где-то далеко
после запятой они все-таки расходятся. Так что нам еще понадобится функция
округления до сотых.

function
Okrug(z:real):real;
var a:integer;
begin
z:=z/10*1000;    // После этого в целой
части останутся первые 3 цифры числа.
a:=round(z);     // Получаем целую
часть, т.е. отбрасываем все ненужное.
z:=a/100;    / Делим на 100 и получаем 2
знака после запятой.

Okrug:=z;

end;

Вот.
Написание всех необходимых процедур и функций закончено, теперь можно переходить
к исполняемой части программы.
begin

Zapoln; // Получаем значения с
клавиатуры.
Ploshad(1); // Теперь в per1 находится площадь главного
треугольника.
Zamena(1); // Вместо точки C подставляем D.
Ploshad(2); //
Теперь в per2 находится площадь треугольника ABD.
cx:=q; // Возвращаем точке C.

cy:=w; // ее координаты.
p:=per2; // Пока сумма равна площади ABD.
Zamena(2); // Вместо точки A подставляем D.
Ploshad(3); // Теперь в per3
находится площадь треугольника BCD.
p:=p+per3; // Сумма равна площадь ABD +
площадь BCD.
ax:=q; // Возвращаем точке A
ay:=w; // ее координаты.
Zamena(3); // Вместо точки B подставляем D.
Ploshad(4); // Теперь в per4
находится площадь треугольника ACD.
p:=p+per4; // Теперь p = ABD + BCD +
ACD.
p:=Okrug(p); // Округляем сумму до сотых.
per1:=Okrug(per1); //Округляем площадь главного треугольника до сотых.
Sravn; // Сравниваем и
выводим результат.
readln; // Ждем нажатия клавиши Enter.
end.

Часть 4. Outtro.

Вот и все.
Каждой строчке я попытался дать максимально понятное объяснение. Если сделать
все как написано в этой статье, то в боевой проверке программа работает с
большой точностью и не дает сбоев, за исключением ввода вместо координат текста.
Но это уже не наше дело. Программа выдает правильный ответ в 100 случаях из 100,
и это доказывает то, что Паскаль действительно «Универсальный язык
программирования».