2. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ. КЛАССИФИКАЦИЯ ФРАКТАЛОВ.

Однако существуют ли в математике множества, которые имеют фрактальную размерность? Да, такие множества были открыты в XIX и XX веках. В 1883 г. немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) построил множество, носящее его имя (множество Кантора). Построение множества Кантора осуществляется следующим образом: Единичный отрезок разбивается на 3 равные части. Средняя часть выбрасывается. Оставшиеся 2 части снова разбиваются, каждая на 3 равные части, и средние их части выбрасываются. Получившиеся отрезки снова разбиваются, каждый на 3 равные части, и средние части выбрасываются и т. д. В пределе получается множество Кантора. 

Спрашивается, чему равна фрактальная размерность множества Кантора? Применим для ее вычисления формулу (*). Чтобы подсчитать по формуле (*), нужно определить e и N(e). На первом этапе построения множества Кантора отрезок единичной длины можно покрыть одним отрезком длиной в, т.е. e = 1 и N(e) = 1.

В 1904 г. немецкий математик Хельга фон Кох построила кривую, которая в настоящее время носит ее имя (кривая Кох). Построение начинается с единичного отрезка прямой. Единичный отрезок прямой делится на 3 равные части. Средняя часть удаляется, а на месте средней части строится равносторонний треугольник. В итоге получается ломаная линия, состоящая из 4 отрезков, каждый из которых равен 1/3 .

Далее, каждый из 4 отрезков снова делится на 3 равные части, на отрезках, расположенных в середине, строятся равносторонние треугольники, и средние части отрезков удаляются. Эта процедура повторяется еще и еще раз. В итоге линия становится очень изрезанной. Если этот процесс повторять бесконечно долго (т. е. перейти к пределу), то получаем непрерывную, нигде не дифференцируемую кривую, и эта непрерывная кривая имеет ненулевую «площадь». Чтобы в этом убедиться, подсчитаем фрактальную размерность кривой Кох. На первом этапе мы имеем один отрезок длиной 1, который можно покрыть одним отрезком длиной, равной 1, т. е. e. = 1 и N(e) = 1. На втором этапе мы имеем 4 отрезка, каждый длиной, равной 1/3 поэтому для покрытия этих отрезков нужны 4 отрезка длиной 1/3 т. е. e=1/3 и N(e)=4.

Таким образом, мы впервые сталкиваемся с фрактальным множеством. Привычная (или топологическая) размерность канторовой пыли равна 0, а вот фрактальная, оказывается, нулю не равна — она строго больше; это и есть, по определению Мандельброта, свойство фрактала.

Как и все в науке, фракталы принято делить на классы или виды. Каждый вид имеет свое особое происхождение. Возьмем, например, геометрические фракталы. Один из самых известных примеров этого вида — это коврик Серпинского. Построение его заключается в следующем: вы берете равносторонний треугольник и в середине вырезаете в нем дыру в виде такого же треугольника, только перевернутого и в четыре раза меньшего. Теперь в каждом из углов у нас появилось по маленькому треугольнику. Повторяем с ними то же самое: в середине каждого вырезаем маленький треугольник. И так далее, пока не устанете, или пока уменьшающиеся треугольники не сможете отличить от точки.

Примерно также получаются все остальные геометрические фракталы: вы берете какую-то фигуру и начинаете применять к ней, а потом к ее частям, определенное геометрическое построение достаточно много раз. Строго говоря, эту процедуру надо повторять бесконечное количество раз. Но так как возможности нашего зрения ограничены, да и жизнь не бесконечна, то можно остановиться на построении самых мелких видимых деталей.

Фракталы следующего вида называются алгебраическими. Один из методов построения алгебраических фракталов состоит в следующем. Вы берете формулу, подставляете в нее число и получаете результат. Потом подставляете в эту же формулу результат и получаете следующее число. Повторяем эту процедуру много раз. В математике это называется итерационный процесс. В результате получается набор чисел, которые являются точками фрактала. Удивительно то, что иногда эти формулы до смешного простые — вы их можете найти в любом школьном учебнике алгебры 6-го класса. А вот фигуры получаются поразительной сложности и красоты. Таким образом рисуют, например, фрактал папоротник.

Еще одним распространенным видом являются стохастические фракталы. Их получают, меняя в итерационном процессе некоторые параметры случайным образом. Этим способом можно нарисовать такие природные объекты, как изрезанные береговые линии, рельеф местности, облака, волны на воде многое другое. Поэтому фрактальные модели сегодня широко применяют в компьютерных играх, создавая в них обстановку, которую уже трудно отличить от реальности.

Мандельброт исследовал преобразование комплексной плоскости, заданное элементарной формулой: Z?Z2+C. Впрочем, преобразование, исследованное Мандельбротом, можно представить просто как преобразование плоскости. Мандельброт рассматривал траектории точек, которые получаются при этом преобразовании, и изучал зависимость получающейся картины от параметра С. Казалось бы, ничего интересного ожидать не приходилось: настолько простым казалось преобразование. Фиксируя параметр С, Мандельброт попытался установить те области на плоскости, выходя из которых, точки не «убегают» на бесконечность, а образованная при итерационном процессе последовательность остается в ограниченной окрестности. Оказалось, что значения таких параметров С образуют связное множество с удивительно причудливой границей, и форма основной части множества повторяется и повторяется в разных масштабах. Это множество и было названо множеством Мандельброта.

Мандельброт опубликовал исследование найденного им множества в конце 1980 года. Математики Р. Брукс и Дж. Мателски выпустили свою работу с сообщением об этом множестве в 1978 году. Поначалу Брукс и Мателски не придавали особого значения своей находке, однако впоследствии заявили, что являются, по меньшей мере, соавторами открытия. Дж. Хаббард сообщил, что наблюдал множество Мандельброта на дисплее своего компьютера в 1976 году. Кроме того, Хаббард, Мателски и Брукс предложили считать истинным открывателем множества французского математика Пьера Фату, описавшего его еще в 1906 году. Однако во всех этих случаях приходится говорить даже не о корнях фрактальной геометрии, а лишь о ее зернах — причем еще не проросших; ибо «авторы» не смогли оценить и понять смысл того, что они нашли. Сталкивавшиеся с множеством Мандельброта ученые считали свои находки частным случаем, почти случайностью, и не увидели совершенно новой области знаний и исследований. Не было озарения, не было выхода за конкретную проблему. Поэтому первооткрывателем множества Мандельброта мы, без сомнения, можем считать самого Б. Мандельброта. Здесь стоит обратить внимание на любопытный факт: Хаббард именно наблюдал множество Мандельброта; не вычислил, не построил — а видел его. Точно так же, как увидел его и Мандельброт. Видели они одно и то же. Это настолько похоже на открытия в естественных науках, что можно утверждать: фракталы были открыты экспериментально. В отличие от своих коллег, Мандельброт почти знал, что он ищет, — но совершенно не знал, что именно он найдет. Когда в своих воспоминаниях Мандельброт говорит о новеньком компьютере Vax, с которым ему посчастливилось работать, о плохих дисплеях и принтере со слабым разрешением, не позволившим ему сразу видеть свое множество, он говорит о них так же, как физик об экспериментальной установке, создание и применение которой привело к открытию.

<<< Предыдущая страница

Следующая страница >>>

обсудить на форуме